算术平均数与几何平均数解法已知x,y是正数,求证：(x+y)(x^2+y^2)(x^3+y^3)>=8x^3y^3

Question

算术平均数与几何平均数解法
已知x,y是正数,求证：(x+y)(x^2+y^2)(x^3+y^3)>=8x^3y^3

Answer 1

由算术平均数大于几何平均数（x+y）/2≥√xy 即x+y≥2√xy
x+y≥2√xy=2x^(1/2)y^(1/2)
x²＋y²≥2xy
x³+y³≥2√(x³y³ )=2x^(3/2)y^(3/2)
三个式子相乘得
（x+y）（x²＋y²）（x³+y³）≥2³x^(1/2+1+3/2)y^(1/2+1+3/2)=8x^3y^3
注意√x=x^(1/2) √(x³)=x^(3/2)