如图所示，⊙O分别切△ABC的三边AB，BC，CA于点D，E，F，若BC=a，AC=b，AB=c．求：（1）AD，BE，CF的长；（2）当∠C=90°时，内切圆的半径长为多少？

Question

如图所示，⊙O分别切△ABC的三边AB，BC，CA于点D，E，F，若BC=a，AC=b，AB=c．
求：（1）AD，BE，CF的长；
（2）当∠C=90°时，内切圆的半径长为多少？

Answer 1

（1）设AD=x，BE=y，CF=z，由切线长性质可知AD=AF，BD=BE，CE=CF．
则

x+y＝c

y+z＝a

z+x＝b

，
解得

x＝(b+c−a)/(2)

y＝(a+c−b)/(2)

z＝(a+b−c)/(2)

，
即AD=(b+c−a)/(2)，BE=(a+c−b)/(2)，CF=(a+b−c)/(2)．
（2）如右图所示，设⊙O内切于Rt△ABC，切点分别为D，E，F，
连接OD，OE，OF，则OD⊥AC，OF⊥AB，OE⊥BC．
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE为正方形，则
CD=CE=r，AD=AF=b-r，BF=BE=a-r，而AF+BF=c，
∴b-r+a-r=c，
∴r=(a+b−c)/(2)．