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1/x乘以(1+x^2)^1/2的不定积分
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1/x乘以(1+x^2)^1/2的不定积分
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答案和解析
求不定积分 ∫{[√(1+x²)]/x}dx
令x=tanu,则dx=sec²udu,代入原式得：
原式=∫{[√(1+tan²u)]/(tanu)}sec²udu=∫[(sec³u)/(tanu)]du=∫[(sec²u)/(sinu]du
=∫(1/sinu)d(tanu)=(tanu)/(sinu)-∫tanud(1/sinu)=secu+∫(tanucosu/sin²u)du
=secu+∫(1/sinu)du=secu+ln(cscu-cotu)+C
=√(1+x²)+ln{[√(1+x²)]/x-(1/x)}+C
=√(1+x²)+ln{[√(1+x²)-1]/x)}+C
令x=tanu,则dx=sec²udu,代入原式得：
原式=∫{[√(1+tan²u)]/(tanu)}sec²udu=∫[(sec³u)/(tanu)]du=∫[(sec²u)/(sinu]du
=∫(1/sinu)d(tanu)=(tanu)/(sinu)-∫tanud(1/sinu)=secu+∫(tanucosu/sin²u)du
=secu+∫(1/sinu)du=secu+ln(cscu-cotu)+C
=√(1+x²)+ln{[√(1+x²)]/x-(1/x)}+C
=√(1+x²)+ln{[√(1+x²)-1]/x)}+C
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