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已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.(1)如图(1)连接AF、CE,判断四边形AFCE的形状并说明理由,再求AF的长;(2)如图2动点P、Q分别从A、C两
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已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.
(1)如图(1)连接AF、CE,判断四边形AFCE的形状并说明理由,再求AF的长;
(2)如图2动点P、Q分别从A、C两点同时出发,点P以每秒5cm的速度沿A→F→B→A运动,点Q以每秒4cm沿C→D→E→C匀速运动一周,一点到达终点时另一点也中止运动.若运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.
(1)如图(1)连接AF、CE,判断四边形AFCE的形状并说明理由,再求AF的长;
(2)如图2动点P、Q分别从A、C两点同时出发,点P以每秒5cm的速度沿A→F→B→A运动,点Q以每秒4cm沿C→D→E→C匀速运动一周,一点到达终点时另一点也中止运动.若运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.
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答案和解析
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE.
∵EF垂直平分AC,
∴OA=OC.
∵在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴OE=OF(AAS).
∵EF⊥AC,
∴四边形AFCE为菱形.
设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm,
在Rt△ABF中,AB=4cm,由勾股定理,得
16+(8-x)2=x2,
解得:x=5,
∴AF=5
(2)由作图可以知道,P点AF上时,Q点CD上,此时A,C,P,Q四点不可能构成平行四边形;
同理P点AB上时,Q点DE或CE上,也不能构成平行四边形.
∴只有当P点在BF上,Q点在ED上时,才能构成平行四边形,
∴以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,
∴PC=QA,
∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,
∴PC=5t,QA=12-4t,
∴5t=12-4t,
解得:t=
.
∴以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=
秒.
∴AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE.
∵EF垂直平分AC,
∴OA=OC.
∵在△AOE和△COF中,
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∴△AOE≌△COF(AAS),
∴OE=OF(AAS).
∵EF⊥AC,
∴四边形AFCE为菱形.
设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm,
在Rt△ABF中,AB=4cm,由勾股定理,得
16+(8-x)2=x2,
解得:x=5,
∴AF=5
(2)由作图可以知道,P点AF上时,Q点CD上,此时A,C,P,Q四点不可能构成平行四边形;
同理P点AB上时,Q点DE或CE上,也不能构成平行四边形.
∴只有当P点在BF上,Q点在ED上时,才能构成平行四边形,
∴以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,
∴PC=QA,
∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,
∴PC=5t,QA=12-4t,
∴5t=12-4t,
解得:t=
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∴以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=
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