如图，△ABC中，∠ABC>90°，tan∠BAC=34，BC=4，将三角形绕着点A旋转，点C落在直线AB上的点C′处，点B落在点B′处．若C、B、B′恰好在一直线上，则AB的长为．

Question

如图，△ABC中，∠ABC>90°，tan∠BAC= (3)/(4)，BC=4，将三角形绕着点A旋转，点C落在直线AB上的点C′处，点B落在点B′处．若C、B、B′恰好在一直线上，则AB的长为___．

Answer 1

作B'M⊥AC于点M，作CN⊥AC于点N．则△BMB'∽△BNC．
∵∠B'AC=∠BAC，
∴tan∠B'AC=tan∠BAC=(B′M)/(AM)=(CN)/(AN)=(3)/(4)．
∴设B'M=3x，CN=3y，则AM=4x，AN=4y，
∴在直角△AB'M中，AB'=√(AM2+B′M2)=5x，
则AB=AB'=5x，
∴BM=x，
∵△BMB'∽△BNC，
∴(CN)/(BN)=(B′M)/(BM)=(3x)/(x)=3，
∴BN=(CN)/(3)=(3y)/(3)=y．
则5x+y=4y，
解得：x=(3)/(5)y．
又∵直角△BCN中，BN²+CN²=BC²
即y²+（3y）²=16，
解得：y=(2√(10))/(5)，
则x=(6√(10))/(25)，AB=5x=(6√(10))/(5)．
故答案是：(6√(10))/(5)．