高数!求详解设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明：在(0,1)内必存在c,使f''(c)=2f'(c)/(1-c)

Question

高数!求详解
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明：在(0,1)内必存在c,使f ''(c)=2f '(c)/(1-c)

Answer 1

令F(x)=(1-x)*f(x),F(0)=F(1)=0,在[0,1]上应用罗尔中值定理,存在ξ属于（0,1）,使得F’（ξ）=0.
F'（x）=-f(x)+(1-x)f'(x)
F''(x)=-2*f'(x)+(1-x)*f''(x) （*）
F'(ξ)=0,F'(1)=0,在[ξ,1]上应用罗尔中值定理,存在c属于（ξ,1）,使得
F''（c）=0代入（*）得,F''（c）=-2*f'(c)+(1-c)*f''(c) =0
得证.