已知，如图1：在正方形ABCD中，AB=2，点P是DC延长线上一点，以P为圆心，PD长为半径的圆的一段弧交AB边于点E，（1）若以A为圆心，AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时，求AE的长；（2）如图2

Question

已知，如图1：在正方形ABCD中，AB=2，点P是DC延长线上一点，以P为圆心，PD长为半径的圆的一段弧交AB边于点E，
（1）若以A为圆心，AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时，求AE的长；
（2）如图2：连接PE交BC边于点F，连接DE，设AE长为x，CF长为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）将点B沿直线EF翻折，使点B落在平面上的B′处，当EF=(5)/(3)时，△AB′B与△BEF是否相似？若相似，请加以证明；若不相似，简要说明理由．

Answer 1

（1）取BC的中点G，连接AG．（1分）
∵圆A与圆G圆外切，
∴AG=AE+1．（1分）
正方形ABCD中，AB=2，设AE=x．
∵在Rt△ABG中，AB²+BG²=AG²，（1分）
∴22+12＝(x+1)2x＝±√(5)−1（负数舍去）．（1分）
∴以A为圆心，AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时，AE的长为√(5)−1．

（2）过点D作DH⊥PE于H，连接DF．（1分）
∵PD=PE，
∴∠PDE=∠PED．
∵四边形ABCD为正方形，
∴DC∥AB，
∴∠PDE=∠DEA，
∴∠PED=∠DEA；
∵∠A=∠DHE=90°，DE=DE，
∴△DAE≌△DHE；
∴DA=DH，EA=EH．（1分）
∵DC=DH，∠DCF=∠DHF=90°，DF=DF，
∴△DHF≌△DCF；
∴CF=FH；（1分）
∵AE=x，CF=y，
∴EF=x+y，BE=2-x，BF=2-y；
∴在直角三角形BEF中，BE²+BF²=EF²，
∴（2-x）²+（2-y）²=（x+y）²，
整理得到：y＝(4−2x)/(x+2)(0＜x＜2)；（2分）

（3）∵EF=(5)/(3)，
∴x+y＝(5)/(3)，
∴(5)/(3)−x＝(4−2x)/(x+2)，
解得：x1＝1，x2＝(2)/(3)．（1分）
当x₁=1时，BE＝1，BF＝(2)/(3)；
∵B沿直线EF翻折落在平面上的B'处，
∴BB'⊥EF，设垂足为Q．
∴BQ=(2)/(5)，BB'=(4)/(5)．
∵E、Q分别为AB、BB'的中点，
∴EQ∥AB'，
∴∠ABB'=∠EQB=90°．
在△AB'B与△BEF中，(BB′)/(AB)＝((4)/(5))/(2)＝(2)/(5)，(BF)/(EF)＝((2)/(3))/((5)/(3))＝(2)/(5)，
∴(BB′)/(AB)=(BF)/(EF)，
∴△AB'B∽△BEF；（3分）
（用相似传递性也可以证明△AB'B∽△BEF，也按步骤分步得分）
当x2＝(2)/(3)时，BE＝(4)/(3)，BF＝1．
∵(BE)/(AE)=((4)/(3))/((2)/(3))=2，(BQ)/(B′Q)=1，
EQ与AB'不平行，
∴△ABB'不是直角三角形，
∴△AB'B与△BEF不相似．（1分）
综上所述，当EF=(5)/(3)，AE=1时，△AB'B∽△BEF；
当EF=(5)/(3)，AE＝(2)/(3)时，△AB'B与△BEF不相似．