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已知,如图1:在正方形ABCD中,AB=2,点P是DC延长线上一点,以P为圆心,PD长为半径的圆的一段弧交AB边于点E,(1)若以A为圆心,AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时,求AE的长;(2)如图2
题目详情
已知,如图1:在正方形ABCD中,AB=2,点P是DC延长线上一点,以P为圆心,PD长为半径的圆的一段弧交AB边于点E,
(1)若以A为圆心,AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时,求AE的长;
(2)如图2:连接PE交BC边于点F,连接DE,设AE长为x,CF长为y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)将点B沿直线EF翻折,使点B落在平面上的B′处,当EF=
时,△AB′B与△BEF是否相似?若相似,请加以证明;若不相似,简要说明理由.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b7003af33a87e950db9cabee13385343faf2b4ad.jpg)
(1)若以A为圆心,AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时,求AE的长;
(2)如图2:连接PE交BC边于点F,连接DE,设AE长为x,CF长为y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)将点B沿直线EF翻折,使点B落在平面上的B′处,当EF=
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b7003af33a87e950db9cabee13385343faf2b4ad.jpg)
▼优质解答
答案和解析
(1)取BC的中点G,连接AG.(1分)
∵圆A与圆G圆外切,
∴AG=AE+1.(1分)
正方形ABCD中,AB=2,设AE=x.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/64380cd7912397dd5af2c0865a82b2b7d1a287ad.jpg)
∵在Rt△ABG中,AB2+BG2=AG2,(1分)
∴22+12=(x+1)2x=±
−1(负数舍去).(1分)
∴以A为圆心,AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时,AE的长为
−1.
(2)过点D作DH⊥PE于H,连接DF.(1分)
∵PD=PE,
∴∠PDE=∠PED.
∵四边形ABCD为正方形,
∴DC∥AB,
∴∠PDE=∠DEA,
∴∠PED=∠DEA;![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4610b912c8fcc3ce992391b19145d688d53f2054.jpg)
∵∠A=∠DHE=90°,DE=DE,
∴△DAE≌△DHE;
∴DA=DH,EA=EH.(1分)
∵DC=DH,∠DCF=∠DHF=90°,DF=DF,
∴△DHF≌△DCF;
∴CF=FH;(1分)
∵AE=x,CF=y,
∴EF=x+y,BE=2-x,BF=2-y;
∴在直角三角形BEF中,BE2+BF2=EF2,
∴(2-x)2+(2-y)2=(x+y)2,
整理得到:y=
(0<x<2);(2分)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd315c6034a85edfa006a6a14a540923dc5475ad.jpg)
(3)∵EF=
,
∴x+y=
,
∴
−x=
,
解得:x1=1,x2=
.(1分)
当x1=1时,BE=1,BF=
;
∵B沿直线EF翻折落在平面上的B'处,
∴BB'⊥EF,设垂足为Q.
∴BQ=
,BB'=
.
∵E、Q分别为AB、BB'的中点,
∴EQ∥AB',
∴∠ABB'=∠EQB=90°.
在△AB'B与△BEF中,
=
=
,
=
=
,
∴
=
,
∴△AB'B∽△BEF;(3分)
(用相似传递性也可以证明△AB'B∽△BEF,也按步骤分步得分)
当x2=
时,BE=
,BF=1.
∵
=
=2,
=1,
EQ与AB'不平行,
∴△ABB'不是直角三角形,
∴△AB'B与△BEF不相似.(1分)
综上所述,当EF=
,AE=1时,△AB'B∽△BEF;
当EF=
,AE=
时,△AB'B与△BEF不相似.
∵圆A与圆G圆外切,
∴AG=AE+1.(1分)
正方形ABCD中,AB=2,设AE=x.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/64380cd7912397dd5af2c0865a82b2b7d1a287ad.jpg)
∵在Rt△ABG中,AB2+BG2=AG2,(1分)
∴22+12=(x+1)2x=±
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∴以A为圆心,AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时,AE的长为
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(2)过点D作DH⊥PE于H,连接DF.(1分)
∵PD=PE,
∴∠PDE=∠PED.
∵四边形ABCD为正方形,
∴DC∥AB,
∴∠PDE=∠DEA,
∴∠PED=∠DEA;
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4610b912c8fcc3ce992391b19145d688d53f2054.jpg)
∵∠A=∠DHE=90°,DE=DE,
∴△DAE≌△DHE;
∴DA=DH,EA=EH.(1分)
∵DC=DH,∠DCF=∠DHF=90°,DF=DF,
∴△DHF≌△DCF;
∴CF=FH;(1分)
∵AE=x,CF=y,
∴EF=x+y,BE=2-x,BF=2-y;
∴在直角三角形BEF中,BE2+BF2=EF2,
∴(2-x)2+(2-y)2=(x+y)2,
整理得到:y=
4−2x |
x+2 |
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd315c6034a85edfa006a6a14a540923dc5475ad.jpg)
(3)∵EF=
5 |
3 |
∴x+y=
5 |
3 |
∴
5 |
3 |
4−2x |
x+2 |
解得:x1=1,x2=
2 |
3 |
当x1=1时,BE=1,BF=
2 |
3 |
∵B沿直线EF翻折落在平面上的B'处,
∴BB'⊥EF,设垂足为Q.
∴BQ=
2 |
5 |
4 |
5 |
∵E、Q分别为AB、BB'的中点,
∴EQ∥AB',
∴∠ABB'=∠EQB=90°.
在△AB'B与△BEF中,
BB′ |
AB |
| ||
2 |
2 |
5 |
BF |
EF |
| ||
|
2 |
5 |
∴
BB′ |
AB |
BF |
EF |
∴△AB'B∽△BEF;(3分)
(用相似传递性也可以证明△AB'B∽△BEF,也按步骤分步得分)
当x2=
2 |
3 |
4 |
3 |
∵
BE |
AE |
| ||
|
BQ |
B′Q |
EQ与AB'不平行,
∴△ABB'不是直角三角形,
∴△AB'B与△BEF不相似.(1分)
综上所述,当EF=
5 |
3 |
当EF=
5 |
3 |
2 |
3 |
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