△ABC中,角ACB=90°,CA=CB,E、F在AB上,且∠ECF=45°,求证：EF²=AE²+FB²

Question

△ABC中,角ACB=90°,CA=CB,E、F在AB上,且∠ECF=45°,求证：EF²=AE²+FB²

Answer 1

作CD=CE,且角BDC=角ACE,连BD,DF,如图所示.
因为AC=AB,CE=CD
所以三角形AEC全等于三角形BDC
所以  AE=BD
     角BCD=角ACE
     角CAB=角CBD
因为 角CAB+角CBA=90度
所以 角CBD+角CBA=90度
所以   BD垂直于BF
   因为 角BCF+角ACE=45度且角ACE=角BCD
   所以     角BCD+角BCF=45度
   所以 角DCF=角ECF=45度
又CE=CD  CF=CF 
  所以三角形CEF全等于三角形CDF
  所以EF=DF
 在直角三角形BDF中
 因为 BD平方+BF平方=DF平方
     又 BD=AE,EF=DF
  所以 AE平方+BF平方=EF平方

 
给个好评哦,想了好久的