已知,三角形ABC,CB=CA,点D是AB的中点,点M在三角形ABC的内部,且角MAC=角MBC,过点M做ME垂直BC,MF垂直AC垂足为E,F,连接DE,DF,求证：DE=DF（2）若将上述条件中的CB=CA,改为CB不等于CA,其他条件不变,结论还成

Question

已知,三角形ABC,CB=CA,点D是AB的中点,点M在三角形ABC的内部,且角MAC=角MBC,过点M做ME垂直BC,MF垂直AC
垂足为E,F,连接DE,DF,求证：DE=DF （2）若将上述条件中的CB=CA,改为CB不等于CA,其他条件不变,结论还成立吗?跪求第（2）问,

Answer 1

（2）的结论成立.
设角MBA=α,角MAB=β.角MAC=角MBC=θ,并不妨设AD=DB=1,那么
在三角形MBA里,根据正弦定理可得MA=(2sinα)/(sin(α+β)).
然后在直角三角形MFA里,可得AF=MAcosθ=(2sinαcosθ)/(sin(α+β))..
接着在三角形FAD里,用余弦定理得
DF^2=AD^2+AF^2-2AD*AF*cos(β+θ)
=1+4[(sinαcosθ)/(sin(α+β))]^2-2*(2sinαcosθ)/(sin(α+β))*cos(β+θ)
=1+4[sinαcosθ/[sin(α+β)]^2]*[sinαcosθ-cos(β+θ)*sin(α+β)],对后面中括号内的两项均用积化和差
=1+4[sinαcosθ/[sin(α+β)]^2]*[0.5sin(α+θ)+0.5sin(α-θ)-0.5sin(α+2β+θ)-0.5sin(α-θ)],可以对消掉2项,即为
=1+2[sinαcosθ/[sin(α+β)]^2]*[sin(α+θ)-sin(α+2β+θ)],然后使用和差化积得
=1+4[sinαcosθ/[sin(α+β)]^2]*[cos(α+β+θ)sin(-β)]
=1-4sinαsinβcosθcos(α+β+θ)/[sin(α+β)]^2]
同理可得DE^2=1-4sinαsinβcosθcos(α+β+θ)/[sin(α+β)]^2](注意这个式子关于α和β是对称的)
因此有DE^2=DF^2,那么DE=DF.