y'+y=x^2e^x的通解

Question

y'+y=x^2e^x的通解

Answer 1

先考虑微分方程y′＋y＝0,得：dy＝－ydx,∴（1/y）dy＝－dx,∴lny＝－x＋C,
∴y＝Ce^（－x）.
∴原微分方程的通解可写成：y＝ue^（－x）,其中u是关于x的一个函数.
∵y＝ue^（－x）,∴y′＝［e^（－x）］u′－ue^（－x）,
∴［e^（－x）］u′－ue^（－x）＋ue^（－x）＝x^2e^x,∴u′＝x^2e^（2x）,
∴u
＝∫x^2e^（2x）dx＝（1/2）∫x^2e^（2x）d（2x）＝（1/2）∫x^2d［e^（2x）］
＝（1/2）x^2·e^（2x）－（1/2）∫e^（2x）d（x^2）
＝（1/2）x^2·e^（2x）－（1/2）∫e^（2x）（2x）dx
＝（1/2）x^2·e^（2x）－（1/2）∫xe^（2x）d（2x）
＝（1/2）x^2·e^（2x）－（1/2）∫xd［e^（2x）］
＝（1/2）x^2·e^（2x）－（1/2）x·e^（2x）＋（1/2）∫e^（2x）dx
＝（1/2）x^2·e^（2x）－（1/2）x·e^（2x）＋（1/4）∫e^（2x）d（2x）
＝（1/2）x^2·e^（2x）－（1/2）x·e^（2x）＋（1/4）e^（2x）＋C,
∴y＝（1/2）x^2·e^x－（1/2）x·e^x＋（1/4）e^x＋C/e^x.
∴原微分方程的通解是：
y＝（1/2）x^2·e^x－（1/2）x·e^x＋（1/4）e^x＋C/e^x,其中C是任意实数.