（2008•东城区二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB为等边三角形，底面ABCD为正方形，O为AB中点，PO⊥AC．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；（Ⅲ）求二面角

Question

（2008•东城区二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB为等边三角形，底面ABCD为正方形，O为AB中点，PO⊥AC．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角P-AC-B的大小．

Answer 1

（Ⅰ）∵△PAB为等边三角形，O为AB中点，
∴PO⊥AB．
又PO⊥AC，
∴PO⊥平面ABCD．
又PO⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．

（Ⅱ）∵PO⊥平面ABCD．
∴∠PCO为直线PC与平面ABCD所成的角．
设底面正方形边长为2，
则PO＝√(3)，CO＝√(5)，
∴tanPCO＝(PO)/(CO)＝(√(15))/(5)．
∴直线PC与平面ABCD所成的角大小为arctan(√(15))/(5)．

（Ⅲ）过O做OE⊥AC，垂足为E，连接PE．
∵PO⊥平面ABCD，
∴PE⊥AC．
∴∠PEO为二面角B-AC-P的平面角．
设底面正方形边长为2，可求得OE＝(√(2))/(2)．
又PO＝√(3)，
∴tanPEO＝(PO)/(OE)＝√(6)．
∴二面角B-AC-P的大小为arctan

作业帮用户 2017-10-20

问题解析

（1）要证明平面PAB⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定定理，关键是要在一个平面里找到一条直线与另外一个平面垂直，观察发现△PAB底边AB上的中线满足要求，添加辅助线后，证明线面垂直即可得到结论．
（2）由（1）的结论，我们易得∠PCO即为所求，构造三角形，解三角形即可得到答案．
（3）由（1）的结论，过P向AC做垂线，垂足为E，则∠PEO即为二面角P-AC-B的平面角，解三角形PEO，即可求出二面角P-AC-B的大小．

名师点评

本题考点：

平面与平面之间的位置关系；平面与平面垂直的判定．

考点点评：

（1）对于已知条件中出现了（或容易证明）有关的面面平行的问题，往往就要紧紧围绕着面面平行的性质，从而得到线线（或线面）平行，从而将问题解决．
（2）求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠PEO为二面角P-AC-B的平面角，通过解∠PEO所在的三角形求得∠PEO．其解题过程为：作∠PEO→证∠PEO是二面角的平面角→计算∠PEO，简记为“作、证、算”．

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