如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC=60°．PA⊥面ABCD，且PA=3．F在棱PA上，且AF=1，E在棱PD上．（Ⅰ）若CE∥面BDF，求PE：ED的值；（Ⅱ）求二面角B-DF-A的大小．

Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC=60°．PA⊥面ABCD，且PA=3．F在棱PA上，且AF=1，E在棱PD上．

（Ⅰ）若CE∥面BDF，求PE：ED的值；
（Ⅱ）求二面角B-DF-A的大小．

Answer 1

证明：（Ⅰ）过E作EG∥FD交AP于G，连接CG，
连接AC交BD于O，连接FO．
∵EG∥FD，EG⊄面BDF，FD⊂面BDF，
∴EG∥面BDF，又EG∩CE=E，CE∥面BDF，EG，CE⊂面CGE，
∴面CGE∥面BDF，…（3分）
又CG⊂面CGE，∴CG∥面BDF，
又面BDF∩面PAC=FO，CG⊂面PAC，
∴FO∥CG．
又O为AC中点，∴F为AG中点，∴FG=GP=1，
∴E为PD中点，PE：ED=1：1．…（6分）
（Ⅱ）过点B作BH⊥直线DA交DA延长线于H，过点H作HI⊥直线DF交DF于I，…（8分）

∵PA⊥面ABCD，∴面PAD⊥面ABCD，
∴BH⊥面PAD，由三垂线定理可得DI⊥IB，
∴∠BIH是二面角B-DF-A的平面角．
由题易得AH=(3)/(2)，BH=(3√(3))/(2)，HD=(9)/(2)，
且(HI)/(HD)=(AF)/(DF)=(1)/(√(10))，∴HI=(9√(10))/(20)，
∴tan∠BIH=(3√(3))/(2)×(20)/(9√(10))=(√(30))/(3)，…（10分）
∴二面角B-DF-A的大小为arcran(√(30))/(3)．…（12分）