如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C=A1B，B1C1∥BC，B1C1＝12BC．（Ⅰ）求证：面A1AC⊥面ABC；（Ⅱ）求证：AB1∥面A1C1C．

Question

如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁是正方形，AC=AB=1，A₁C=A₁B，B₁C₁∥BC，B1C1＝(1)/(2)BC．

（Ⅰ）求证：面A₁AC⊥面ABC；
（Ⅱ）求证：AB₁∥面A₁C₁C．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵四边形ABB₁A₁为正方形，∴A₁A=AB=AC=1，A₁A⊥AB
∴A1B＝√(2)…（2分）
∵A₁C=A₁B，∴A1C＝√(2)，∴∠A1AC＝90°
∴A₁A⊥AC…（4分）
∵AB∩AC=A，∴A₁A⊥面ABC
又∵A₁A⊂面A₁AC，∴面A₁AC⊥面ABC…（6分）
（Ⅱ）取BC的中点E，连接AE，C₁E，B₁E
∵B₁C₁∥BC，B₁C₁=(1)/(2)BC，∴B₁C₁∥EC，B₁C₁=EC
∴四边形CEB₁C₁为平行四边形，∴B₁E∥C₁C
∵C₁C⊂面A₁C₁C，B₁E⊄面A₁C₁C，∴B₁E∥面A₁C₁C…（8分）
∵B₁C₁∥BC，B₁C₁=(1)/(2)BC，∴B₁C₁∥BE，B₁C₁=BE
∴四边形BB₁C₁E为平行四边形，∴B₁B∥C₁E，且B₁B=C₁E
又∵ABB₁A₁是正方形，∴A₁A∥C₁E，且A₁A=C₁E
∴AEC₁A₁为平行四边形，∴AE∥A₁C₁，
∵A₁C₁⊂面A₁C₁C，AE⊄面A₁C₁C，∴AE∥面A₁C₁C…（10分）
∵AE∩B₁E=E，∴面B₁AE∥面A₁C₁C
∵AB₁⊂面B₁AE，∴AB₁∥面A₁C₁C…（12分）