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(2014•揭阳三模)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,AB=2,∠BAD=120°,PA⊥平面ABCD,M,N分别是BC,PC的中点.(Ⅰ)证明:AM⊥平面PAD;(Ⅱ)若H为∠ADH=45°上的动点,PA=2与平面PA⊥
题目详情
(2014•揭阳三模)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,AB=2,∠BAD=120°,PA⊥平面ABCD,M,N分别是BC,PC的中点.
(Ⅰ)证明:AM⊥平面PAD;
(Ⅱ)若H为∠ADH=45°上的动点,PA=2与平面PA⊥所成最大角的正切值为
,求二面角M-AN-C的余弦值.
(Ⅰ)证明:AM⊥平面PAD;
(Ⅱ)若H为∠ADH=45°上的动点,PA=2与平面PA⊥所成最大角的正切值为
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▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:由四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,
可得∠ABC=60°,△ABC为正三角形.
因为M为BC的中点,所以AM⊥BC.…(2分)
又BC∥AD,因此AM⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD,AM⊂平面ABCD,所以PA⊥AM.…(4分)
而PA∩AD=A,所以AM⊥平面PAD.…(5分)
(Ⅱ)设H为PD上任意一点,连接AH、MH
由(Ⅰ)知:AM⊥平面PAD.
则∠MHA为MH与平面PAD所成的角.…(7分)
在Rt△MAH中,AM=
,
所以当AH最短时,∠MHA最大,…(8分)
即当AH⊥PD时,∠MHA最大,
此时tan∠MHA=
=
=
.
因此AH=
.又AD=2,
所以∠ADH=45°,于是PA=2.…(10分)
因为PA⊥平面ABCD,PA⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABCD.
过M作MO⊥AC于O,则由面面垂直的性质定理可知:MO⊥平面PAC,
所以MO⊥AN,过M作MS⊥AN于S,连接OS,AN⊥平面MSO,
所以AN⊥SO,则∠MSO为二面角M-AN-C的平面角.…(12分)
在Rt△AOM中,OM=AMsin30°=
,OA=AMcos30°=
又N是PC的中点,PA=AC,∴AN⊥PC且AN=NC
在Rt△ASO中,SO=AOsin45°=
,
又SM=
可得∠ABC=60°,△ABC为正三角形.
因为M为BC的中点,所以AM⊥BC.…(2分)
又BC∥AD,因此AM⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD,AM⊂平面ABCD,所以PA⊥AM.…(4分)
而PA∩AD=A,所以AM⊥平面PAD.…(5分)
(Ⅱ)设H为PD上任意一点,连接AH、MH
由(Ⅰ)知:AM⊥平面PAD.
则∠MHA为MH与平面PAD所成的角.…(7分)
在Rt△MAH中,AM=
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所以当AH最短时,∠MHA最大,…(8分)
即当AH⊥PD时,∠MHA最大,
此时tan∠MHA=
AM |
AH |
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AH |
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因此AH=
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所以∠ADH=45°,于是PA=2.…(10分)
因为PA⊥平面ABCD,PA⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABCD.
过M作MO⊥AC于O,则由面面垂直的性质定理可知:MO⊥平面PAC,
所以MO⊥AN,过M作MS⊥AN于S,连接OS,AN⊥平面MSO,
所以AN⊥SO,则∠MSO为二面角M-AN-C的平面角.…(12分)
在Rt△AOM中,OM=AMsin30°=
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又N是PC的中点,PA=AC,∴AN⊥PC且AN=NC
在Rt△ASO中,SO=AOsin45°=
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又SM=
作业帮用户
2016-12-09
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