一个多项式的标准分解式问题如何证明每个次数不小于1的实系数多项式都可以唯一地分解为一次因式与二次不可约实系数多项式的乘方的乘积?

Question

一个多项式的标准分解式问题
如何证明每个次数不小于1的实系数多项式都可以唯一地分解为一次因式与二次不可约实系数多项式的乘方的乘积?

Answer 1

首先,若虚数z是方程f(x)=0的根,则z的共轭(记为z') 也是方程f(x)=0的根.即方程f(x)=0的虚根成对出现.
证明是显然的：f(z)=z^n+a1z^(n-1) +…+an-1(z)+an =0, 取f(z)=0的共轭,即有f(z')=0.

实系数多项式方程f(x)=0 有实根α1,α2,…,αt ；虚根 β1,β1',β2,β2',…,βs,βs'.
所以有f(x)=(x-α1)(x-α2)…(x-αt)[x^2-(β1+β1')x+β1β1'][x^2-(β2+β2')x+β2β2']…
[x^2-(βs+βs')x+βsβs']