在由点电荷激发的电场中的某一点的电势可以由公式U=kQ/r加以表达,试由此公式出发证明：两个相隔一定距离的,带不等电量的异种点电荷,它们电势为零的等势面是一个球面

Question

在由点电荷激发的电场中的某一点的电势可以由公式U=kQ/r加以表达,试由此公式出发证明：两个相隔一定距离的,带不等电量的异种点电荷,它们电势为零的等势面是一个球面

Answer 1

设这两个不等量异种电荷带电分别为nq和－q,它们一个固定在图示坐标系的原点,一个固定在x轴上坐标为a的地方,并设P点为xOy坐标平面上的坐标(x,y)的任一点.
P点的电势应为nq和－q激发的电场各自在P点电势的叠加,即
UP=knq/根号(x^2+y^2)+(-kq)/根号[(a-x)^2+y^2]
当UP＝0时,有knq/根号(x^2+y^2)=kq/根号[(a-x)^2+y^2]
整理、可得x^2+y^2-2axn^2/(n^2-1)+n^2a^2/(n^2-1)=0 ,
配方,并整理,可得[x-2an^2/(n^2-1)]^2+y^2=[an/(n^2-1)]^2 .
由平面解析几何知识可知,上述方程表示,xOY平面上,零电势点的轨迹方程是一个圆的方程,该圆心坐标为( an^2/(n^2-1),0),该圆半径为R=an/(n^2-1) .
由于该两异种点电荷的电场关于z轴对称,故可进一步推出:该两个不等量异种点电荷造成的电势中电势为零的等势面是一个球面.