帮做题!填空最后一题：各个位相加和为7的数叫做吉祥数,把吉祥数从小到大排7,16,25,34,43,52,61,106,124.3004,3013.若第N项是2005,则第5N项是?

Question

帮做题!
填空最后一题：各个位相加和为7的数叫做吉祥数,把吉祥数从小到大排
7,16,25,34,43,52,61,106,124.3004,3013.
若第N项是2005,则第5N项是?

Answer 1

这个得找规律了.
1位数：只有1个
2位数：个位可以从0到6,7个
3位数：
首位为1时,个位可以从0到6,7个
首位为2时,个位可以从0到5,6个
.
首位为7时,个位可以从0到0,1个
4位数：
前2位为10时,个位可以从0到6,7个
前2位为11时,个位可以从0到5,6个
.
前2位为16时,个位可以从0到0,1个
前2位为20时,个位可以从0到5,6个
前2位为21时,个位可以从0到4,5个
.
前2位为25时,个位可以从0到0,1个
.
前2位为70时,个位可以从0到0,1个
可以看出,3位数时有如下数列：
C3:1 2 ...7
4位数时有如下数列：
C4:1 (1+2) ...(1+2+...+7)
数列C4的通项式是数列C3的前n项和
同理可知,5位数的数列C5将是数列C4的前n项和,
数列C3的前n项和为：S3=n(n+1)/2,(n=1,2,...,7)
数列C4的前n项和为：
S4=[1*2+2*3+...+n(n+1)]/2
=[(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+...+n)]/2
=[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2]/2
=n(n+1)(n+2)/6,(n=1,2,...,7)
数列C5的前n项和为：
S5=[1*2*3+2*3*4+...+n(n+1)(n+2)]/6
=[2*(2^2-1)+3*(3^2-1)+...+(n+1)*((n+1)^2-1)]/6
=[(2^3+3^3+...+(n+1)^3)-(2+3+...+(n+1))]/6
=[(1+2+...+(n+1))^2-1-(2+3+...+(n+1))]/6
=n(n+1)(n+2)(n+3)/24,(n=1,2,...,7)
看规律可以知道,数列C6的前n项和为：
S6=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/120,(n=1,2,...,7)
综上可知,2005是第N=1+7+2*(1+2+...+7)+1=65项
现在找第5N=5*65=325项.
S1=1
S2=7
当n=7时,S3=28,显然第5N项不是3位数
当n=7时,S4=84,显然第5N项不是4位数
当n=7时,S5=210,S1+S2+...+S5=330>325,
所以第5N项是5位数,并且是倒数第6个,即52000.