1对某些正整数n,存在A1,A2,…,An为集合{1,2…n}的n个不同的子集,满足下列条件：对任意不大于n的正整数i,j,①i不属于Aj,且每个Aj至少含三个元素;②i属于Aj的充要条件是j不属于Ai（其中i≠j）,为

Question

1对某些正整数n,存在A1,A2,…,An为集合{1,2…n}的n个不同的子集,满足下列条件：对任意不大于n的正整数i,j,①i不属于Aj,且每个Aj至少含三个元素; ②i属于Aj的充要条件是j不属于Ai（其中i≠j）,为了表示这些子集,做n行n列的数表,规定第i行第j列的数为aij =0 当i不属于Aj
aij =1 当i属于Aj
Ⅰ求该数表中每列至少有多少个1；
Ⅱ用n表示该数表中1的个数,并证明n≥7；
Ⅲ请构造出集合{1,2,…,7}的7个不同的子集A1,A2,…,A7,使得A1,A2,…,A7满足题设（写一种答案即可）
2①设有实数a,b,c ,满足a＜b＜c,证明：存在等差数列使得a,b,c为其中的三项的充要条件是存在自然数k,l,使得b=(ka+lc)/(k+l)
②是否存在等差数列,使得ln2、ln3、ln4成为这个等差数列的某三项（可以不相邻）?若存在,请说明理由；若不存在,请加以证明.

Answer 1

第一题做过 印象不深了 原来题中没有告诉要构造数表 告诉这简直就降了一大半难度 我印象中含有1 总共 n(n-1)/2 个 则每列(至少有一列)含 (n-1)/2
它大于等于3(每个A含3个元素),则有n>=7
至于n(n-1)/2 个 怎么来 应该是 表中的上半三角形全是1(不包括对角线 ) .
第二题 不难啊 充分性 :k(b-a)=l(c-b) 可设
b-a=lm c-b=km 显然可以找到一个等差数列 其中
a=b-lm ,b-(l-1)m,b-(l-2)m,.,b+(k-1)m c=b+km .这样就出来了
必要性 其实就有点象定比分点公式
第二问就用第一问结论 应该是不存在 用这个
b=(ka+lc)/(k+l) 注意ln4=2ln2 简单论证一下
另:第一题题目似打错.