一道数列题,设a1=2,a2=4,数列{bn}满足：bn=a(n+1)-an,b(n+1)=2bn+2[这里的n,n+1都是下标]（1）求证数列{bn+2}是等比数列（要指出首项与公比）；（2）求数列{an}的通项公式

Question

一道数列题,
设a1=2,a2=4,数列{bn}满足：bn=a(n+1)-an,b(n+1)=2bn+2[这里的n,n+1都是下标]
（1）求证数列{bn+2}是等比数列（要指出首项与公比）；
（2）求数列{an}的通项公式

Answer 1

(1) B(n+1)=2B(n)+2
=>B(n+1)+2 = 2( B(n)+2 )
所以: B(n)+2 是等比数列
公差为2, 首项 B1+2 = 4
(2) B(n) = A(n+1) - A(n)
B(n-1) = A(n) - A(n-1)
.
B(1) = A(2) - A(1)
上面n个式子相加可得
B(1)+B(2)+...+B(n) = A(n+1)-A(1)
=>( B(1)+2 )+( B(2)+2 )+ ... +( B(n)+2 )
= A(n+1) - A(1) + 2*n
=>4 + 8 + 16 + ... + 4*2^(n-1)
= A(n+1) - 2 + 2*n
=> A(n+1) = 2^(n+2) - 2n - 2
=> A(n) = 2^(n+1) - 2n