对于函数y＝f（x）,若满足f（x1+x2／2）≤f（x1）+f（x2）/2,则称函数y＝f（x）为下凸函数,试判断函数f（x）＝x2+ax+b（a,b为常数）是否下凸函数并证明

Question

对于函数y＝f（x）,若满足f（x1+x2／2）≤f（x1）+f（x2）/2,则称函数y＝f（x）为下凸函数,试判断函数f（x）＝x2+ax+b（a,b为常数）是否下凸函数并证明

Answer 1

是下凸函数
证明：
f(x1+x2/2)=[(x1+x2)/2]2+a(x1+x2)/2+b
f(x1)=x12+ax1+b
f(x1)=x22+ax2+b
f(x1)+f(x2)/2
=(x12+x22+a(x1+x2))/2 +b
f(x1)+f(x2)/2-f(x1+x2/2)
=(x12+x22+a(x1+x2))/2 +b -{[(x1+x2)/2]2+a(x1+x2)/2+b}
=(x1平方+x2平方)/2-[(x1+x2)/2]平方
=(x1平方+x2平方)/2-[(x1+x2)平方/4]
=1/4 [2x1平方＋2x2平方-x1平方-2x1x2-x2平方]
=1/4 [x1平方-2x1x2+x2平方]
=1/4 (x1-x2)平方≥0
即f(x1)+f(x2)/2≥f(x1+x2/2)
所以
得证.