定义在R上的函数f(x)满足：如果对任意x1、x2∈R，都有f()≤［f(x1)+f(x2)］，则称函数f(x)是R上的下凸函数.已知二次函数f(x)=ax2+x(a∈Ra≠0).（1）求证：当a＞0时，函

Question

定义在 R 上的函数f(x)满足：如果对任意x ₁ 、x ₂ ∈ R ，都有f( )≤ ［f(x ₁ )+f(x ₂ )］，则称函数f(x)是 R 上的下凸函数.已知二次函数f(x)=ax ² +x(a∈ R a≠0).

（1）求证：当a＞0时，函数f(x)是下凸函数;

（2）如果x∈［0 1］时，|f(x)|≤1，试求实数a的范围.

Answer 1

（1） 证明： 对任意x ₁ 、x ₂ ∈ R ∵a＞0

∴［f(x ₁ )+f(x ₂ )］-2f( )=ax ₁ ² +x ₁ +ax ₂ ² +x ₂ -2［a( ) ² + ）］

=ax ₁ ² +ax ₂ ² - a(x ₁ ² +x ₂ ² +2x ₁ x ₂ )= a(x ₁ -x ₂ ) ² ≥0.

∴f( )≤ ［f(x ₁ )+f(x ₂ )］.

∴函数f(x)是下凸函数.

(2) 由|f(x)|≤1 -1≤f(x)≤1 -1≤ax ² +x≤1.      (*)

当x=0时，a∈ R ;当x∈(0 1)时，(*)式即 恒成立 即

恒成立.

∵x∈(0 1] ∴ ≥1.

∴当 =1时，-( + ) ² + 取得最大值-2；当 =1时，( - ) ² - 取得最小值0.

∴-2≤a≤0 结合a≠0，得-2≤a＜0.

综上，a的范围是［-2 0).