高中人教版必修一数学题目，求解x1+x2f（x1）+f（x2）定义在R上的函数f（x），若对于任意数x1，x2∈R，都有f（————）≤———————22，则称f（x）是R上的下凸函数，已知二次函

Question

高中人教版必修一数学题目，求解x1+x2 f（x1）+f（x2） 定义在R上的函数f（x），若对于任意数x1，x2∈R，都有f（————）≤——————— 2 2 ，则称f（x）是R上的下凸函数，已知二次函数g（x)=ax²+x （1）求证：当a﹥0时，g（x）是R上的下凸函数 （2）如果x∈[0,1]时，丨g（x）丨≤1，求a的取值范围。 带点过程，谢谢了！！！！

Answer 1

（1）证明：∵g(x)=ax²+x,设x1,x2∈R 则g[（x1+x2）/2]=a·1/4·(x1+x2)^2=~~~~~~(你自己整理哈) g(x1)=ax1^2+x1,g(x2)=ax2^2+x2 [g(x1)+g(x2)]/2=~~~~~~ ∴[g(x1)+g(x2)]/2 -g[（x1+x2）/2]=~~~~~~~~(减后的值可以配成一个完全平方式，这里大于等于0) ∴[g(x1)+g(x2)] ≥g[（x1+x2）/2] ∴g（x）是R上的下凸函数 （2）当a=0时，g(x)=x, 当x∈[0,1]，丨g（x）丨≤1，∴a=0满足条件 当a≠0时,g(x)=ax²+x,对称轴x=—1/(2a) i.当—1/2a0时，g（x）在[0,1]上是减函数 ∴g(1) 丨g（0）丨 ∴丨g（1）丨≤1,即丨a+1丨≤1, ∴-2 ≤a ≤0,与a>0矛盾 ii.当—1/(2a)>1,即-1/2