阅读下列材料，解决后面两个问题：我们可以将任意三位数.abc（其中a、b、c分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且a≠0），显然.abc=100a+10b+c；我们形如.xyz和.zyx的两个三

Question

阅读下列材料，解决后面两个问题：
我们可以将任意三位数

.

abc

（其中a、b、c分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且a≠0），显然

.

abc

=100a+10b+c；我们形如

.

xyz

和

.

zyx

的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x、y、z是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”．
（1）写出任意两对“姊妹数”，并判断2331是否是一对“姊妹数”的和；
（2）如果用x表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除．

Answer 1

（1）根据“姊妹数”满足的条件得，

.

234

和

.

432

是一对姊妹数，

.

345

和

.

543

是一对姊妹数；
假设是一对“姊妹数”的和，
设这对“姊妹数”中的一个三位数的十位数字为x，个位数字为（x-1），百位数字为（x+1），（x为大于1小于9的整数），
∴这个三位数为100（x+1）+10x+x-1=111x+99，
∴另一个三位数的十位数字为x，个位数字为（x+1），百位数字为（x-1），则这个三位数为100（x-1）+10x+x+1=111x-99，
∴这对“姊妹数”的和为（111x+99）+（111x-99）=222x=2331，
∴x=10(1)/(2)，不符合题意，
∴2331不是一对“姊妹数”的和；
（2）∵x表示一个三位数的百位数字，（x为大于2小于9的整数），
根据“姊妹数”的意义得，这个三位数的十位数字为（x-1），个位数字为（x-2），
∴这个三位数为：100x+10（x-1）+（x-2）=111x-12，
∴它的“姊妹数”为：100（x-2）+10（x-1）+x=111x-210，
∴这对“姊妹数”的和为：（111x-12）+（111x-210）=222x-222=222（x-1）=37×6（x-1），
∵x为大于2小于9的整数，
∴（x-1）是整数，
∴6（x-1）是整数，
∴37×6（x-1）能被37整除，
即：任意一对“姊妹数”的和能被37整除．