如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED=∠B=∠C=60°，过点E作EM⊥AD于M．（1）求证：AB•DE=BE•AE；（2）求EMBC的值．

Question

如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED=∠B=∠C=60°，过点E作EM⊥AD于M．
（1）求证：AB•DE=BE•AE； 
（2）求(EM)/(BC)的值．

Answer 1

（1）证明：∵∠AED=60°，
∴∠AEB+∠DEC=120°，
∵∠B=60°，
∴∠BAE+∠AEB=120°，
∴∠BAE=∠DEC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABE∽△ECD，
∴(AB)/(EC)=(AE)/(ED)，
∴AB•ED=EC•EA，
∵E是BC的中点，
∴EB=EC，
∴AB•DE=BE•AE．

（2）过点E作EN⊥AB于点N，
∵AB•DE=BE•AE，
∴(AB)/(BE)=(AE)/(DE)，
又∵∠AED=∠B=60°，
∴△ABE∽AED，
∴∠BAE=∠DAE，
∵NE⊥AB，EM⊥AD，
∴NE=EM，
∴sin60°=(NE)/(BE)=(√(3))/(2)，
∵BE=EC，
∴(EN)/(BC)=(EM)/(BC)=(√(3))/(4)．