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如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,M是BC的中点,动点P在AB边上运动(点P不与点A、B重合),过点P作PE⊥BC于E,作∠MPD=90°,PD交BC边于点D.设BP=x,PE=h.(1)求h与x之间的函数关系式;(2

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如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,M是BC的中点,动点P在AB边上运动(点P不与点A、B重合),过点P作PE⊥BC于E,作∠MPD=90°,PD交BC边于点D.设BP=x,PE=h.

(1)求h与x之间的函数关系式;
(2)当x为何值时,△MPD与△ABC相似?
▼优质解答
答案和解析
(1)过P作PE⊥BC于H,
则PE∥AC;
Rt△ABC中,AC=6,BC=8;
则AB=10.
∵P为AB上动点可与A、B重合(与A重合BP为0,与B重合BP为10)
但是x不能等于5.
∵当x=5时,P为AB中点,PM∥AC,得到PD∥BC,PD与BC无交点,与题目已知矛盾,所以x的取值范围是,0<x<10 且x≠5,
易知△BPE∽△BAC,得:
PE
AC
BP
AB
,PE=
AC•BP
AB
=
3
5
x,
∴h=
3
5
x;
(2)当D在BC上时,
①∠PMB=∠B时,BP=PM,ME=BE=2;
MP=x,AB=10,ME=2,BC=8,
此时△MPD∽△BCA,
∴△MPD∽△MEP,
∴△MEP∽△BCA,
MP
AB
ME
BC

x
10
2
8
,解得x=
5
2

②∠PMB=∠A时,△DPM∽△BCA,得:
DP
BC
DM
BA

即DP•BA=DM•BC;
∴10x=4×8,解得x=
16
5
,;
当D在BC延长线上时,
由于∠PMD>∠B,所以只讨论∠PDM=∠B的情况;
当P、A重合时,Rt△MPD中,AC⊥MD,则∠MAC=∠PDM,
∵tan∠MAC=
2
3
,tanB=
3
4
,tan∠MAC<tanB,
∴∠MAC<∠B,即∠PDM<∠B;
由于当P、A重合时,∠PDM最大,故当D在BC延长线上时,∠B>∠PDM;
所以△PDM和△ACB不可能相似;

综上所述,存在符合条件的P点,且x=2.5或3.2.