已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点M、N分别是边AC、AB的中点，点D是线段BM的中点．（1）求证：CNAB=CDMB；（2）求∠NCD的余切值．

Question

已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点M、N分别是边AC、AB的中点，点D是线段BM的中点．

（1）求证：(CN)/(AB)=(CD)/(MB)；
（2）求∠NCD的余切值．

Answer 1

（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点N分别是边AB的中点，点D是线段BM的中点，
∴(CN)/(AB)=(1)/(2)，(CD)/(MB)=(1)/(2)，
∴(CN)/(AB)=(CD)/(MB)；

（2）过M作MN⊥AB于H，
∵点N分别是边AB的中点，
∴CN=AN=(1)/(2)AB，
∴∠ACN=∠A=30°，
∴∠NCD=∠MCD-30°=∠CMB-30°=∠MBA，
∴设BC=2k，则MA=√(3)k，MH=(√(3))/(2)k，HB=4k-(3)/(2)k=(5)/(2)k，
∴cos∠NCD=(HB)/(MH)=((5)/(2)k)/((√(3))/(2)k)=(5√(3))/(3)．