如图，以AB为直径的O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE是O的切线；（2）当AB=43，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．

Question

如图，以AB为直径的 O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．

（1）求证：DE是 O的切线；
（2）当AB=4√(3)，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．

Answer 1

（1）连接OD，
∵AB是 O的直径，D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∵点D在圆上，
∴DE为 O的切线；    

（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，
∵OD∥BC，∠C=∠ODF=30°，
∴∠ADO=30°，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠A=∠C，
∴AB=BC=4√(3)，
∴OD=2√(3)，∠AOD=120°，OF=√(3)，
∴AF=3，AD=6，
∴S_△AOD=(1)/(2)AD•OF=(1)/(2)×6×√(3)=3√(3)，
∴阴影部分面积S=(120π•(2√(3))2)/(360)-3√(3)=4π-3√(3)．