如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=DC，E、F分别为AB、PB的中点．（1）求证：EF⊥CD；（2）求DB与平面DEF所成角的正弦值；（3）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=DC，E、F分别为AB、PB的中点．
（1）求证：EF⊥CD；
（2）求DB与平面DEF所成角的正弦值；
（3）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵E、F分别是AB、PB的中点，∴EF∥PA
∵ABCD为正方形，∴AD⊥CD
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD
∵AD∩PD=D，∴CD⊥平面PAD
∵PA⊂平面PAD，∴PA⊥CD
∴EF⊥CD；
（2）设B到平面DEF的距离为h，AB=a，则由题意(1)/(3)S△DEF•d＝(1)/(3)S△DEB•FO.

∵EF2+DF2＝(2)/(4)a2+(3)/(4)a2＝(5)/(4)a2＝DE2

，∴∠DEF=90°．
∴S△DEF＝(√(6))/(8)a2，
∴(1)/(3)×(√(6))/(8)a2h＝(1)/(24)a3，
∴h=(√(6))/(6)a
∵BD=√(2)a
∴DB与平面DEF所成角的正弦值为

作业帮用户 2017-11-05

问题解析

（1）先证明EF∥PA，再证明CD⊥平面PAD，即可证明EF⊥CD；
（2）利用V_F-DEB=V_B-DEF，可求B到平面DEF的距离，即可求DB与平面DEF所成角的正弦值；
（3）G是AD的中点．取PC的中点H，连结DH，证明DH⊥平面PCB，取DA中点G，连结GF、FH．证明四边形DGFH为平行四边形即可．

名师点评

本题考点：

直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．

考点点评：

本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查直线与平面所成角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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