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如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,PD=DC,E、F分别为AB、PB的中点.(1)求证:EF⊥CD;(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值;(3)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并
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(1)求证:EF⊥CD;
(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值;
(3)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵E、F分别是AB、PB的中点,∴EF∥PA
∵ABCD为正方形,∴AD⊥CD
又PD⊥平面ABCD,∴PD⊥CD
∵AD∩PD=D,∴CD⊥平面PAD
∵PA⊂平面PAD,∴PA⊥CD
∴EF⊥CD;
(2)设B到平面DEF的距离为h,AB=a,则由题意
S△DEF•d=
S△DEB•FO.
,∴∠DEF=90°.
∴S△DEF=
a2,
∴
×
a2h=
a3,
∴h=
a
∵BD=
a
∴DB与平面DEF所成角的正弦值为
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5d6034a85edf8db17b9ea2d50a23dd54574e74cb.jpg)
∵ABCD为正方形,∴AD⊥CD
又PD⊥平面ABCD,∴PD⊥CD
∵AD∩PD=D,∴CD⊥平面PAD
∵PA⊂平面PAD,∴PA⊥CD
∴EF⊥CD;
(2)设B到平面DEF的距离为h,AB=a,则由题意
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∴S△DEF=
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∴h=
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∵BD=
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∴DB与平面DEF所成角的正弦值为
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