如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）设AA1=AC=CB=2，AB=22，求四棱锥C-A1ABE的体积．

Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别是AB、BB₁的中点．

（Ⅰ）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）设AA₁=AC=CB=2，AB=2√(2)，求四棱锥C-A₁ABE的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AC₁ 交A₁C于点F，则F为AC₁的中点．
∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，故DF为三角形ABC₁的中位线，故DF∥BC₁．
由于DF⊂平面A₁CD，而BC₁不在平面A₁CD中，故有BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ） ∵AA₁=AC=CB=2，AB=2√(2)，
∴此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形．
由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB₁A₁ ，∴CD=√(2)．
∴四棱锥C-A₁ABE的体积V=(1)/(3)×((AA1+BE)×AB)/(2)×CD=(1)/(3)×3√(2)×√(2)=2