求所有的素数对（p，q），使得pq|5p+5q．

Question

求所有的素数对（p，q），使得pq|5^p+5^q．

Answer 1

若2|pq，不妨设p=2，则2q|5²+5^q，故q|5^q+25．
∵q|5^q-5，
∴q|30，即q=2，3，5．易验证素数对（2，2）不合要求，（2，3），（2，5）合乎要求．
若pq为奇数且5|pq，不妨设p=5，则5q|5⁵+5^q，故q|5^q-1+625．
当q=5时素数对（5，5）合乎要求，当q≠5时，由Fermat小定理有q|5^q-1-1，故q|626．由于q为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以q=313．经检验素数对（5，313）合乎要求．
若p，q都不等于2和5，则有pq|5^p-1+5^q-1，故5^p-1+5^q-1≡0（bmodp）．①
由Fermat小定理，得5^p-1≡1（bmodp），②
故由①，②得5^q-1≡-1（bmodp）．③
设p-1=2^k（2r-1），q-1=2^l（2s-1），其中k，l，r，s为正整数．
若k≤l，则由②，③易知1＝12l−k(2s−1)≡(5p−1)2l−k(2s−1)＝52l(2r−1)(2s−1)＝(5q−1)2r−1≡(−1)2r−1≡−1 (bmodp)，
这与p≠2矛盾！所以k＞l．
同理有k＜l，两结论矛盾，即此时不存在合乎要求的（p，q）．
综上所述，所有满足题目要求的素数对（p，q）为：
（2，3），（3，2），（2，5），（5，2），（5，5），（5，313）及（313，5）．