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p+10,p+14都为质数,求质数p的所有值.
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p+10,p+14都为质数,求质数p的所有值.
▼优质解答
答案和解析
例1：求素数p,使 p+10与p+14 仍是素数．
解析 先取若干素数作试验：
p=2时,p+10=12,p+14=16,不合；
p=3时,p+10=13,p+14=17,合；
p=5时,p+10=15,p+14=19,不合；
p=7时,p+10=17,p+14=21,不合；
p=11时,p+10=21,p+14=25,不合；
p=13时,p+10=23,p+14=27,不合；
归纳,猜想：仅p=3是所求的素数．
下面用演绎法证明：令k为自然数：
若p=3k+1,则p+14=3k+15=3(k+5)是合数；
若p=3k+2,则p+10=3k+12=3(k+4)是合数；
因此,仅当p=3k时,有可能使p+10,p+14
均为素数,但是3k中的素数只有一个——“3”,所以所要求的素数p=3.
解析 先取若干素数作试验：
p=2时,p+10=12,p+14=16,不合；
p=3时,p+10=13,p+14=17,合；
p=5时,p+10=15,p+14=19,不合；
p=7时,p+10=17,p+14=21,不合；
p=11时,p+10=21,p+14=25,不合；
p=13时,p+10=23,p+14=27,不合；
归纳,猜想：仅p=3是所求的素数．
下面用演绎法证明：令k为自然数：
若p=3k+1,则p+14=3k+15=3(k+5)是合数；
若p=3k+2,则p+10=3k+12=3(k+4)是合数；
因此,仅当p=3k时,有可能使p+10,p+14
均为素数,但是3k中的素数只有一个——“3”,所以所要求的素数p=3.
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