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综合与实践:问题情景:已知等腰Rt△AED,∠AED=∠ACB=90°,点M,N分别是DB,EC的中点,连接MN.问题:(1)如图1,当点E在AB上,且点C和点D恰好重合时,探索MN与EC的数量关系,并加以证明;
题目详情
综合与实践:
问题情景:已知等腰Rt△AED,∠AED=∠ACB=90°,点M,N分别是DB,EC的中点,连接MN.
问题:
(1)如图1,当点E在AB上,且点C和点D恰好重合时,探索MN与EC的数量关系,并加以证明;
(2)如图2,当点D在AB上,点E在△ABC外部时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由.
拓展探究:
(3)如图3,将图2中的等腰Rt△AED绕点A逆时针旋转n°(0<n<90),请猜想MN与EC的位置关系和数量关系.(不必证明)
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_a2a9d49650df89e4db7344b8f14cc408.jpg)
问题情景:已知等腰Rt△AED,∠AED=∠ACB=90°,点M,N分别是DB,EC的中点,连接MN.
问题:
(1)如图1,当点E在AB上,且点C和点D恰好重合时,探索MN与EC的数量关系,并加以证明;
(2)如图2,当点D在AB上,点E在△ABC外部时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由.
拓展探究:
(3)如图3,将图2中的等腰Rt△AED绕点A逆时针旋转n°(0<n<90),请猜想MN与EC的位置关系和数量关系.(不必证明)
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▼优质解答
答案和解析
(1)MN与EC的数量关系为MN=
EC
证明:∵点M,N分别是DB,EC的中点
∴MN=
EB
∵等腰Rt△AED,∠AED=∠ACB=90°
∴∠B=∠ACE=45°
∴∠BCE=90°-45°=45°
∴BE=CE
∴MN=
EC
(2)成立
证明:如图2,连接EM并延长至点F,使MF=EM,连接CF,BF![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_6c6044b1a291b310a992e425717d774b.jpg)
在△EDM和△FBM中
∴△EDM≌△FBM(SAS)
∴BF=DE=AE,∠FBM=∠EDM
∵△ABC和△AED为等腰直角三角形,∠AED=∠ACB=90°
∴∠EAD=∠EDA=∠BAC=∠ABC=45°,AC=BC
∴∠FBM=∠EDM=135°
∴∠FBC=∠EAC=90°
在△EAC和△FBC中
∴△EAC≌△FBC(SAS)
∴FC=EC
又∵点M,N分别是EF,EC的中点
∴MN=
FC
∴MN=
EC
(3)MN与EC的位置关系为:MN⊥EC,数量关系为:MN=
EC.
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证明:∵点M,N分别是DB,EC的中点
∴MN=
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∵等腰Rt△AED,∠AED=∠ACB=90°
∴∠B=∠ACE=45°
∴∠BCE=90°-45°=45°
∴BE=CE
∴MN=
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2 |
(2)成立
证明:如图2,连接EM并延长至点F,使MF=EM,连接CF,BF
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在△EDM和△FBM中
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∴△EDM≌△FBM(SAS)
∴BF=DE=AE,∠FBM=∠EDM
∵△ABC和△AED为等腰直角三角形,∠AED=∠ACB=90°
∴∠EAD=∠EDA=∠BAC=∠ABC=45°,AC=BC
∴∠FBM=∠EDM=135°
∴∠FBC=∠EAC=90°
在△EAC和△FBC中
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∴△EAC≌△FBC(SAS)
∴FC=EC
又∵点M,N分别是EF,EC的中点
∴MN=
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∴MN=
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(3)MN与EC的位置关系为:MN⊥EC,数量关系为:MN=
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