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求最小的自然数n,使得n恰有144个正约数,而且n的正约数中,有10个连续整数.

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求最小的自然数n,使得n恰有144个正约数,而且n的正约数中,有10个连续整数.
▼优质解答
答案和解析
有10个连续的非零连续自然数的约数,如10个连续整数为1-10的话,
则这个数分解质因数后肯定至少含有5个2,至少含有3个3,至少含有2个5,至少含有1个7.
先把它表示成25×33×52×7×x,后面的x表示含有的其他项.
由于25×33×52×7中已经含有了多少约数,
只含有因子2的约数有5个,即2,4,8,16,32,
只含有3的约数有3个,只含有5的约数有2个,只含有7的约数有1个,共有11个;
含有2,3,5,7中的两项的约数,含有2,3的有5×3=15个,
含有2,5的有5×2=10个,含有2,7的有5×1=5个,
含有3,5的有3×2=6个,含有3,7的有3×1=3个,
含有5,7的有2×1=2个,共有15+10+5+6+3+2=41个;
含有2,3,5,7中三个因数的约数,含有2,3,5的有5×3×2=30个,
含有2,3,7的有5×3×1=15个,
含有2,5,7的有5×2×1=10个,
含有3,5,7的有3×2×1=6个,
共有30+15+10+6=61个;
最含有2,3,5,7种四个因数的约数,共有5×3×2×1=30个.
那么所有这些约数加起来是11+41+61+30=+143个,
这个数肯定有约数1,那么加在一起就是1+143=144个,
所以这个数字就是25×33×52×7=151200,
它的10个相邻的约数是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
即个自然数n是151200.