p是质数,求所有p的个数,使得满足p^4的所有正约数的和是完全平方数根据等比数列球和公式得到，(P^5-1)/(p-1)的值经验算，当p=3时，是11的平方。

Question

p是质数,求所有p的个数,使得满足p^4的所有正约数的和是完全平方数
根据等比数列球和公式得到，(P^5-1)/(p-1)的值经验算，当p=3时，是11的平方。

Answer 1

首先说明一个引理：
如果一个数n可以表示成P1xP2 ,则由P1和P2可以变换出n的所有约数.
比如16=2x8;
由2和8可以变换成4和4（2乘以8的一个约数,8再除以这个约数)
下面证明你的命题：
设p^4=n
由于P是质数,故P没有除了1和P以外的约数,也就是说n的约数只有1,p,p^2,p^3,p^4
所以n的所有正约数的和为1+ p+ p^2+ p^3+ p^4
用等比数列公式得n的所有正约数的和为(p^5-1)/(p-1)
到这我也不知道接下拉怎么证明了,不过我猜不存在,我再好好想想