已知n,s是整数,若不论n是什么整数,方程x^2-8nx+7^s=0没有整数解,则所有这样的数s的集合是（）A.奇数集B所有形如6k+1的数集C.偶数集D.所有形如4k+3的数集

Question

已知n,s是整数,若不论n是什么整数,方程x^2-8nx+7^s=0没有整数解,则所有这样的数s的集合是（）
A.奇数集 B所有形如6k+1的数集 C.偶数集 D.所有形如4k+3的数集

Answer 1

Δ = 64n^2 - 4 * 7^S
=4(16n^2 -7^s)
若方程有整数解
则Δ必为完全平方数,因为Δ是4的倍数,所以设Δ=4*m^2
16n^2 - m^2 = 7^s
7^s = (4n - m)(4n + m)
左边是奇数
所以m是奇数
m^2必是4k+1的形式
所以7^s必是4k+3的形式
注意到当s为奇数时,7^s模4余3
当s为偶数时,7^s模4余1
所以当s为偶数时,上面所说的m不存在
也就是当s是偶数时,方程没有整数解