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设函数f(x)=ex+x−a(a∈R,e为自然对数的底数).若曲线y=sinx上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则实数a的取值范围是.
题目详情
设函数f(x)=
(a∈R,e为自然对数的底数).若曲线y=sinx上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则实数a的取值范围是______.
ex+x−a |
▼优质解答
答案和解析
由题意可得 y0=sinx0∈[-1,1],f(y0)=
,
∵曲线y=sinx上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,∴存在y0∈[0,1],使f(y0)=y0成立,
即f(x)=x在[0,1]上有解,即 ex+x-x2=a 在[0,1]上有解.
令g(x)=ex+x-x2,则a为g(x)在[0,1]上的值域.
∵当x∈[0,1]时,g′(x)=ex+1-2x>0,故函数g(x)在[0,1]上是增函数,
故g(0)≤g(x)≤g(1),即1≤a≤e,
故答案为:[1,e].
ey0+y0−a |
∵曲线y=sinx上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,∴存在y0∈[0,1],使f(y0)=y0成立,
即f(x)=x在[0,1]上有解,即 ex+x-x2=a 在[0,1]上有解.
令g(x)=ex+x-x2,则a为g(x)在[0,1]上的值域.
∵当x∈[0,1]时,g′(x)=ex+1-2x>0,故函数g(x)在[0,1]上是增函数,
故g(0)≤g(x)≤g(1),即1≤a≤e,
故答案为:[1,e].
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