已知f（x）=lnx-x3+2ex2-ax，a∈R，其中e为自然对数的底数．（1）若f（x）在x=e处的切线的斜率为e2，求a；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

Question

已知f（x）=lnx-x³+2ex²-ax，a∈R，其中e为自然对数的底数．
（1）若f（x）在x=e处的切线的斜率为e²，求a；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f′(x)=(1)/(x)-3x2+4ex-a，
f′(e)=(1)/(e)+e2-a=e2，∴a=(1)/(e)．
（2）由lnx-x³+2ex²-ax=0，
得(lnx)/(x)-x2+2ex=a，
记F(x)=(lnx)/(x)-x2+2ex，
则F′(x)=(1-lnx)/(x)-2(x-e)，x∈（e，+∞），
F'（x）<0，F（x）递减；
x∈（0，e）时，F'（x）>0，F（x）递增．
∴F(x)max=F(e)=(1)/(e)+e2．
而x→0时F（x）→-∞，
x→+∞时F（x）→-∞，
故a<(1)/(e)+e2．