若存在正实数m,使得关于x的方程x+a(2x+2m-4ex)[ln(x+m)-lnx]=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)B.(0,12e)C.(-∞,0)∪[12e,+∞)D.[12e,+∞)
若存在正实数m,使得关于x的方程x+a(2x+2m-4ex)[ln(x+m)-lnx]=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是( )
A. (-∞,0)
B. (0,
)1 2e
C. (-∞,0)∪[
,+∞)1 2e
D. [
,+∞)1 2e
x+2a(x+m-2ex)ln
x+m |
x |
即1+2a(
x+m |
x |
x+m |
x |
即设t=
x+m |
x |
则条件等价为1+2a(t-2e)lnt=0,
即(t-2e)lnt=-
1 |
2a |
设g(t)=(t-2e)lnt,
g′(t)=lnt+1-
2e |
t |
∵g′(e)=lne+1-
2e |
e |
∴当t>e时,g′(t)>0,
当0<t<e时,g′(t)<0,
即当t=e时,函数g(t)取得极小值为:g(e)=(e-2e)lne=-e,
即g(t)≥g(e)=-e,
若(t-2e)lnt=-
1 |
2a |
则-
1 |
2a |
1 |
2a |
则a<0或a≥
1 |
2e |
∴实数a的取值范围是(-∞,0)∪[
1 |
2e |
故选:C.
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