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若存在正实数m,使得关于x的方程x+a(2x+2m-4ex)[ln(x+m)-lnx]=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)B.(0,12e)C.(-∞,0)∪[12e,+∞)D.[12e,+∞)

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若存在正实数m,使得关于x的方程x+a(2x+2m-4ex)[ln(x+m)-lnx]=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是(  )

A. (-∞,0)

B. (0,

1
2e
)

C. (-∞,0)∪[

1
2e
,+∞)

D. [

1
2e
,+∞)

▼优质解答
答案和解析
由x+a(2x+2m-4ex)[ln(x+m)-lnx]=0得
x+2a(x+m-2ex)ln
x+m
x
=0,
即1+2a(
x+m
x
-2e)ln
x+m
x
=0,
即设t=
x+m
x
,则t>0,
则条件等价为1+2a(t-2e)lnt=0,
即(t-2e)lnt=-
1
2a
有解,
设g(t)=(t-2e)lnt,
g′(t)=lnt+1-
2e
t
为增函数,
∵g′(e)=lne+1-
2e
e
=1+1-2=0,
∴当t>e时,g′(t)>0,
当0<t<e时,g′(t)<0,
即当t=e时,函数g(t)取得极小值为:g(e)=(e-2e)lne=-e,
即g(t)≥g(e)=-e,
若(t-2e)lnt=-
1
2a
有解,
则-
1
2a
≥-e,即
1
2a
≤e,
则a<0或a≥
1
2e

∴实数a的取值范围是(-∞,0)∪[
1
2e
,+∞).
故选:C.