已知函数的图象经过其中为自然对数的底数，．（Ⅰ）求实数；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）证明：对于任意的，都有成立．

Question

已知函数 的图象经过 其中 为自然对数的底数， ．
（Ⅰ）求实数 ；
（Ⅱ）求 的单调区间；
（Ⅲ）证明：对于任意的 ，都有 成立．

Answer 1

已知函数 的图象经过 其中 为自然对数的底数， ．
（Ⅰ）求实数 ；
（Ⅱ）求 的单调区间；
（Ⅲ）证明：对于任意的 ，都有 成立．

（Ⅰ）由 的图象过点 得
．                      
（Ⅱ）         
由 知  ，令 ，故 在 上为增函数，当 时，
令 得 ，令 得， ，令 得
故 的增区间为 ，减区间为 ．                            
（Ⅲ）由（2）知， 在区间 上的最小值为      [来源:Zxxk.Com]
即当 时， 恒成立
当 时，令 ，则有
即                                              
故 成立．                      

略