设f（x）=ex（lnx-a）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）若y=f（x）在x=1处的切线方程为y=2ex+b，求a、b的值；（2）若[1e，e]是y=f（x）的一个单调递减区间，求a的取值范围．

Question

设f（x）=e^x（lnx-a）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．
（1）若y=f（x）在x=1处的切线方程为y=2ex+b，求a、b的值；
（2）若[(1)/(e)，e]是y=f（x）的一个单调递减区间，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=e^x（lnx-a），
∴f′（x）=ex(lnx-a)+ex•(1)/(x)=ex(lnx+(1)/(x)-a)，
∵y=f（x）在x=1处的切线方程为y=2ex+b，
∴k=f′（1）=e（ln1+(1)/(1)-a）=2e，
∴a=-1，
∴f（x）=e^x（lnx+1），
∴f（1）=e，
又∵（1，e）也在y=2ex+b上，
∴e=2e+b，则b=-e；
（2）∵y=f（x）在[(1)/(e)，e]上单调递减，
∴f′（x）=ex(lnx+(1)/(x)-a)≤0在[(1)/(e)，e]上恒成立，
即lnx+(1)/(x)-a≤0在[(1)/(e)，e]上恒成立，
令g(x)=lnx+(1)/(x)，x∈[(1)/(e)，e]，
∴g′（x）=(1)/(x)-(1)/(x2)=(x-1)/(x2)，
当x∈[(1)/(e)，1）时，g′（x）<0，g（x）单调递减，
当x∈（1，e]时，g′（x）>0，g（x）单调递增，
又∵g（e）=1+(1)/(e)，g（(1)/(e)）=-1+e，
∴g（(1)/(e)）>g（e），
∴g(x)max=g((1)/(e))=e-1．
∴要使lnx+(1)/(x)-a≤0在[(1)/(e)，e]上恒成立，
只需a≥e-1，
即a的取值范围是[e-1，+∞）．