已知函数g（x）=a-x2（1e≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是．

Question

已知函数g（x）=a-x²（ (1)/(e)≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是___．

Answer 1

由已知，得到方程a-x²=-2lnx⇔-a=2lnx-x²在[(1)/(e)，e]上有解．
设f（x）=2lnx-x²，求导得：f′（x）=(2)/(x)-2x=(2(1-x)(1+x))/(x)，
∵(1)/(e)≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，
∵f（(1)/(e)）=-2-(1)/(e2)，f（e）=2-e²，f（x）_极大值=f（1）=-1，且知f（e）<f（(1)/(e)），
故方程-a=2lnx-x²在[(1)/(e)，e]上有解等价于2-e²≤-a≤-1．
从而a的取值范围为[1，e²-2]．
故答案为：[1，e²-2]