已知函数f（x）=xlnx，e为自然对数的底数．（1）求曲线y=f（x）在x=e-2处的切线方程；（2）关于x的不等式f（x）≥λ（x-1）在（0，+∞）上恒成立，求实数λ的值；（3）关于x的方程f（x）=a有两

Question

已知函数f（x）=xlnx，e为自然对数的底数．
（1）求曲线y=f（x）在x=e^-2处的切线方程；
（2）关于x的不等式f（x）≥λ（x-1）在（0，+∞）上恒成立，求实数λ的值；
（3）关于x的方程f（x）=a有两个实根x₁，x₂，求证：|x₁-x₂|<2a+1+e^-2．

Answer 1

解（1）对函数f（x）求导得f′（x）=lnx+1，
∴f′（e^-2）=lne^-2+1=-1，
又f（e^-2）=e^-2lne^-2=-2e^-2，
∴曲线y=f（x）在x=e^-2处的切线方程为y-（-2e^-2）=-（x-e^-2），
即y=-x-e^-2；
（2）记g（x）=f（x）-λ（x-1）=xlnx-λ（x-1），其中x>0，
由题意知g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
下面求函数g（x）的最小值，
对g（x）求导得g′（x）=lnx+1-λ，
令g′（x）=0，得x=e^λ-1，
当x变化时，g′（x），g（x）变化情况列表如下：

x	（0，eλ-1）	eλ-1	（eλ-1，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	递减	极小值	递增

∴g（x）_min=g（x）_极小值=g（e^λ-1）=（λ-1）e^λ-1-λ（e^λ-1-1）=λ-e^λ-1，
∴λ-e^λ-1≥0，
记G（λ）=λ-e^λ-1，则G′（λ）=1-e^λ-1，
令G′（λ）=0，得λ=1，
当λ变化时，G′（λ），G（λ）变化情况列表如下：

λ	（0，1）	1	（1，+∞）
G′（λ）	+	0	-
G（λ）	递增	极大值	递减

∴G（λ）_max=G（λ）_极大值=G（1）=0，
故λ-e^λ-1≤0当且仅当λ=1时取等号，
又λ-e^λ-1≥0，从而得到λ=1；
（3）先证f（x）≥-x-e^-2，
记h（x）=f（x）-（-x-e^-2）=xlnx+x+e^-2，则h′（x）=lnx+2，
令h′（x）=0，得x=e^-2，
当x变化时，h′（x），h（x）变化情况列表如下：

x	（0，e-2）	e-2	（e-2，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	递减	极小值	递增

∴h（x）_min=h（x）_极小值=h（e^-2）=e^-2lne^-2+e^-2+e^-2=0，
h（x）≥0恒成立，即f（x）≥-x-e^-2，
记直线y=-x-e^-2，y=x-1分别与y=a交于（x1′，a），（x2′，a），
不妨设x₁<x₂，则a=-x1′-e^-2=f（x₁）≥-x₁-e^-2，
从而x1′<x₁，当且仅当a=-2e^-2时取等号，
由（2）知，f（x）≥x-1，则a=x2′-1=f（x₂）≥x₂-1，
从而x₂≤x2′，当且仅当a=0时取等号，
故|x₁-x₂|=x₂-x₁≤x2′-x1′=（a+1）-（-a-e^-2）=2a+1+e^-2，
因等号成立的条件不能同时满足，故|x₁-x₂|<2a+1+e^-2．