已知函数f(x)=2^x+2^-x（1）用函数单调性定义及指数函数性质证明：f（x）是区间（0,+∞）上的增函数（2）若f（x）=5*2^-x+3,求x的值

Question

已知函数f(x)=2^x+2^-x
（1）用函数单调性定义及指数函数性质证明：f（x）是区间（0,+∞）上的增函数
（2）若f（x）=5*2^-x+3,求x的值

Answer 1

1、
f(x)=2^x+1/2^x
x1>x2>0
f(x1)-f(x2)=2^x1+1/2^x1-2^x2-1/2^x2
通分,分母=2^x1*2^x2>0
分子=2^2x1*2^x2+2^x2-2^x1*2^2x2-2^x1
=(2^x1*2^x2-1)(2^x1-2^x2)
x>0,所以2^x1>1,2^x2>1
2^x1*2^x2-1>0
而x1>x2
所以2^x1-2^x2>0
分子大于0
所以x1>x2>0时f(x1) >f(x2)
所以x>0是增函数
2、
2^x+2^-x=5*2^-x+3
令a=2^x,则2^-x=1/a
a+1/a=5/a+3
a²-3a-4=0
a=2^x>0
所以a=4
2^x=4
x=2