已知奇函数f（x）=m-g(x)1+g(x)的定义域为R，其中g（x）为指数函数且过点（2，9）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性定义证明．

Question

已知奇函数f（x）=(m-g(x))/(1+g(x))的定义域为R，其中g（x）为指数函数且过点（2，9）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性定义证明．

Answer 1

（Ⅰ）设g（x）=a^x，由g（x）的图象过点（2，9），可得a²=9，∴a=3，g（x）=3^x．
故函数f（x）=(m-g(x))/(1+g(x))=(m-3x)/(1+3x)．
再根据f（x）为奇函数，可得f（0）=(m-g(0))/(1+g(0))=(m-1)/(1+1)=0，∴m=g（0）=1，即 f（x）=(1-3x)/(1+3x)．
（Ⅱ）∵f（x）=(1-3x)/(1+3x)=(2-(1+3x))/(1+3x)=(2)/(1+3x)-1，．
设x₁<x₂，则 0<3x1<3x2，
由于f（x₁）-f（x₂）=(2)/(1+3x1)-(2)/(1+3x2)=(2(3x2-3x1))/((1+3x1)(1+3x2))，结合0<3x1<3x2，可得2（3x2-3x1）>0，
∴f（x₁）-f（x₂）>0，即f（x₁）>f（x₂），故f（x）在R上单调递减．