整式分式问题已知多项式f(x)除以x+2得余数为1,除以x+3得余数为-1,则多项式f(x)除以（x+2)(x+3)所得余式是?题目是说的多项式，肯定不会是2x+5那样简单

Question

整式分式问题
已知多项式f(x)除以x+2得余数为1,除以x+3得余数为-1,则多项式f(x)除以（x+2)(x+3)所得余式是?
题目是说的多项式，肯定不会是2x+5那样简单

Answer 1

因为是带余除法,所以余式的次数必定小于除式的次数,除式(x+2)(x+3)的次数是2,所以余式的次数至多是1.
所以设余式为ax+b,即存在多项式h(x),使得f(x)=h(x)(x+2)(x+3)+ax+b.(1)
由题意：存在多项式g(x),使得f(x)=g(x)(x+2)+1,故f(-2)=1
同理：f(-3)=-1
代入(1)式：
1=-2a+b；-1=-3a+b
解得a=2;b=5
所以余式为2x+5
2x+5是多项式