求(xy"'-y")^2=y"'^2+1通解,微分方程

Question

求(xy"'-y")^2=y"'^2+1 通解,微分方程

Answer 1

令p＝y'',则(xp'－p)^2=(p')^2+1,
猜想p是n次多项式,首项是an,代入可知等式左边是2n次多项式,首项是(n－1)^2an^2,等式右边是2n－2次多项式,因此必须有n＝1.
令p＝ax+b,代入可得b^2＝a^2+1,因此
p＝ax+根号(a^2+1)或p＝ax－根号(a^2+1),由此可得
y＝ax^3/6+根号(a^2+1)x^2/2+cx+d或
y＝ax^3/6－根号(a^2+1)x^2/2+cx+d