定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时f（x）-xf′（x）＞0且f（2）=0，则（x-3）f（x）＞0的解集为．

Question

定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时f（x）-xf′（x）＞0且f（2）=0，则（x-3）f（x）＞0的解集为______．

Answer 1

∵函数f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（-x）=-f（x）
又∵x＞0时，f（x）-xf′（x）＞0，
∴设F（x）=(f(x))/(x)（x＞0），则F′（x）=(xf′(x)−f(x))/(x2)；
∴F′（x）＜0，∴F（x）是（0，+∞）上的减函数．
又F（-x）=(f(−x))/(−x)=(−f(x))/(−x)=(f(x))/(x)=F（x），
∴函数F（x）是R上的偶函数．
∴函数F（x）=(f(x))/(x)是（-∞，0）上的增函数．
又f（2）=0，∴F（-2）=F（2）=0；
∴0＜x＜2，或-2＜x＜0时，F（x）＞0，即f（x）、x同号；
x＞2，或x＜-2时，F（x）＜0，即f（x）、x异号；
∴（x-3）f（x）＞0的解集为（-2，0）∪（2，3）；
故答案为：（-2，0）∪（2，3）