已知f(x)满足：f(x+y)=f(x)f(y),对任意x属于R,恒有f(x)>0且当x>0时,有f(x)>1,则不等式f(2x-1)>1的解集是

Question

已知f(x)满足：f(x+y)=f(x)f(y),对任意x属于R,恒有f(x)>0且当x>0时,有f(x)>1,则不等式f(2x-1)>1的解集是

Answer 1

∵f(x+y)=f(x)f(y),
∴f(0+0)=f(0)×f(0）
∴f(0)=f²(0)
∴f(0)[f(0)-1]=0
∵对任意x属于R,恒有f(x)>0
∴f(0)>0 ∴f(0)-1=0,f(0)=1
设x10,
∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)f(x1)
∵当x>0时,有f(x)>1
∴f(x2-x1)>1,f(x2-x1)-1>0
∴f(x2)-f（x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=[f(x2-x1)-1]f(x1)>0
∴f(x2)-f(x1)>0
∴f(x)是（-∞,+∞）上的增函数
∴不等式f(2x-1)>1
即f(2x-1)>f(0)
2x-1>0
x>1/2
∴不等式f(2x-1)>1是（1/2,+∞)
本题若为选择或填空还可以用背景函数
满足f(x+y)=f(x)f(y),的基本函数是指数函数
f(x)=a^x
∵x>0时,y>1 ∴a>1
∴f(x) =a^x是增函数,然后就.