已知函数f(x)是定义在R上的单调递增函数,且满足对任意的实数x都有f[f(x)-3^x]=4,则f(x)+f(-x)的最小值为答案是4，求过程

Question

已知函数f(x)是定义在R上的单调递增函数,且满足对任意的实数x都有f[f(x)-3^x]=4,则f(x)+f(-x)的最小值为
答案是4，求过程

Answer 1

∵f(x)是定义在R上的单调递增函数，x和f（x）乃是一一对应，∴f(x)-3^x必然为一个固定的数，设为a，f(a)=4，而无论x怎么变。因此，可以设f(x)-3^x=a，即f(x)=3^x+a，当x=a时，3^a+a=4，必有a=1（∵当a<1时，3^a+a<3+1=4；而当a>1时，3^a+a>3+1=4）。于是，f(x)=3^x+1，f(-x)=3^(-x)+1。可知：f(x)+f(-x)=3^x+3^(-x)+2≥2√(3^x·3^(-x))+2=2+2=4，当且仅当x=0时。