对数的运算性质

Question

对数的运算性质

Answer 1

基本性质　　如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：
　　1、a^log(a) N=N （对数恒等式）
　　证：设log(a) N=t,（t∈R）
　　则有a^t=N　
　　a^(log(a)N)=a^t=N.
　　即证.[2]
　　2、log(a) a=1
　　证：因为a^b=a^b
　　令t=a^b
　　所以a^b=t,b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
　　令b=1,则1=log(a)a
　　3、log(a) (M·N）=log(a) M+log(a) N
4、log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N
　　5、log(a) M^n=nlog(a) M
　　6、log(a)b*log(b)a=1
　　7、log(a) b=log (c) b÷log (c) a （换底公式）
　　基本性质5推广
　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
　　推导如下：
　　由换底公式
　　log(a^n)(b^m)=ln(b^m）÷ln(a^n)
　　换底公式的推导：
　　设e^x=b^m,e^y=a^n
　　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x÷y
　　x=ln(b^m),y=ln(a^n)
　　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m）÷ln(a^n)
　　由换底公式
　　log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n）×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
　　再由基本性质5可得
　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]